2004年强军计划考研真题
一、填空题（每小题9分，共54分）
1、
2、
3、ln(cosx）在点x=0处展开至x4项的局部泰勒公式为 。
4、
5、设（x0,y0）(x0≠0)是椭圆x2+2y2=1上的点，那么函数f(x,y)=y/x2在（x0,y0）点，沿椭圆在该点处外法向量的方向导数等于 。
6、设D为圆域x2+y2≤x，则 。
7、累次积分 。
8、幂级数 的收敛域为 ，和函数为 。
9、（y2-2x）dy-ydx=0的通解是 。
二、单选题（每小题中，四个选项只能选一项。每小题5分，共25分）
1、在曲线y=1/x (0∞)上的任一点P（x,y）处作切线，该切线分别交x轴与y轴于A和B，则（ ）
A. PA B. PA=PB C. PA>PB D. PA,PB的大小关系与P的位置有关
2、设 则（ ）
A.f(x)在（-∞,+∞）上并非点点连续；
B.f(x)在（-∞，+∞）上连续，但是f(x)在（-∞,+∞）上并非点点可导；
C．f(x)在（-∞，+∞）上可导，但是f(x)在（-∞，+∞）上并非点点连续；
D.f’(x)在（-∞，+∞）上连续。
3、若 ，则F(x) （ ）
A.不为常数 B.为正常数 C.为负常数 D.恒为零
4、当n→∞时，（1+1/n）n-e是1/n的（ ）
A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶但非等价无穷小
5、
A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.其他情况
三、（13分）求旋转抛物面z=(x2+y2)/2与平面2x+2y+z+6=0之间的最短距离。
四、（13分）设某公司所属甲、乙两工厂生产同一产品，当甲、乙两工厂的产量分别为x和y时，总成本Q（x,y）=3x2+xy+y2+200000(元)。现有总成本530000元，问如何分配甲、乙两工厂的产量，才能使甲、乙两工厂的产量之和为最大？
五、（13分）设p(t)为某地区的人口数量函数，现时刻（t=0）的人口数为P0，根据生态条件知，该地区能容纳的最大人口数为Pm。假定人口数在任一时刻t的增长率与Pm-p(t)成正比，比例常数为k。试求该地区的人口数量函数p(t).
六、（9分）求曲线积分 ，其中C是一条光滑的简单闭曲线，原点在其所围成的区域的内部，沿反时针方向，且a,b>0。
七、（10分）设f(x)在[0,1]上有连续的一阶导数，且f(x)≥0,f’(x)≤0.若F(x)=∫0xf(t)dt，求证：对任意的x∈（0,1），都有xF(1)≤F(x)≤2∫01F(t)dt。