高等数学预测试题1
一、 填空题（每小题8分，共64分）
1.已知 ，则 （ ） ， （ ）。
2.已知函数 ，在 处展开成泰勒级数的形式，最高次数为 ，则 （ ）。
3.函数 在点 沿点 指向 方向的方向导数为（ ）。
4.曲面 在点 的切平面方程为（ ）。
5.设D是Oxy平面上以 ， 和 为顶点的三角形区域，则 （ ）。
6.已知 的正方向，则 （ ）。
7.级数 的收敛区间为（ ）。
8.求微分方程 的通解（ ）。
二、选择题（每题7分，共28分）
1.设 分别满足条件： 在 处三阶可导，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 不是 的极值，（0， ）不是曲线 的拐点。
B. 是 的极小值。
C. （0， ）是曲线 的拐点。
D． 是 的极大值。
2.设 ， ， 为实数，方程 的根最多有（ ）个。
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
3.在曲线 的所有切线中，与平面 平行的切线（ ）.
A.只有一条 B.只有两条 C.至少有三条 D.不存在
4.下列级数中条件收敛的是（ ） .
A. B.
C. D.
三、 解答题（共4小题，58分，第1—3小题，每小题14分，第4小题16分）
1. 设S是上半空间 中任意光滑闭曲面，S围成区域 ，函数 ( )在上半空间有连续的二阶偏导数，满足
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
2. 设 在 连续，在 内 且 ，又由曲线 与直线 ， 围成平面图形的面积为2.
（Ⅰ）求函数 。
（Ⅱ）问 为何值时，此图形绕X轴旋转而成的旋转体的体积最小。
（Ⅲ）旋转而成的最小体积为多少？
3. 设 ，
(Ⅰ)求证：平面曲线 所围图形的面积 .
(Ⅱ)已知直线 与椭球面 .试问，过直线L的哪一个平面被椭球面截得的面积最大？
（Ⅲ）求在条件(Ⅱ)下的最大面积。
4. 设 ，
（Ⅰ）求上述两个幂级数的收敛域及 ，
（Ⅱ）求 ，
（Ⅲ）求